ただの思いつきではあるのだけど。

[d^r/dx^r] where r is not an integer って演算はありうるのでしょうか?またあるとしてどんな意味があるのでしょうか?

例えば x <k+1> y を、 x <k> x を y 回繰り返す演算子 と定義したとします。足し算が<1>だとすると、かけ算<2>、引き算は<-1>。これと同じで[d^-1/dx^-1]は素直にその逆演算である積分、[∫dx]と定義できます。

負の数は足し算の逆演算<-1>を定義すると自然発生しますが、非整数はかけ算の逆演算<-2>、すなわち割り算を定義すると自然発生します。

数学の演算では、このように逆演算を考えることで世界が拡がっていったわけですが、「演算の回数が整数でない」、いわば「半演算」とでもいうべき拡張の例って他にどれくらいありましたっけ?

ちなみに<3>、ベキ乗の逆演算は、「どこを逆にするか」によってベキ乗根と対数の二通りが考えられますよね? x ^ y = z と置いた時に、xに注目するとベキ乗根[x = z ^(1/y) ]、yに注目すると対数[y = logx z = ln z / ln x]。「半演算」が常に定義できるとは限らない理由ってこの辺にあるのでしょうか?

ここ20年ぐらい、ときおりふと首をもたげる思いつきです。そんだけ。

Dan the Irrational Man

追記:s/非整数回/非整数階/g (or fractional derivative)

"Fractional Derivative"で検索しなおすと、こんなわかりやすいページが。

rl-operator

美麗につきここに飾っておきます＞Riemann-Liouville Operator。

Γ関数とか出て来て一件難しそうですが、直感的に「1/n階微分とは、n回それを繰り返すことにより1階微分になる演算」というのが直感的に伝わってきました（ちなみにΓ関数は階乗(!)を非整数にも拡張したもの)。目から鱗です。私の考え方そのものは間違ってなかったようで安心すると同時に、なんでこの問題に関しては今まで「考え込まなかったか」が不思議かつ悔やまれます。

「昔取った杵柄」さん、ありがとうございました。しかしこの「検索の耐えられない軽さ」ってなんだろう。適切なキーワードさえわかればあとはあっという魔。しかしそのキーワードにたどり着くまでがまわりみちくねくね。